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正四面体的截面有哪几类？

2024-10-02 10:30:04 点击：100

基本结论

凸多面体的截面是凸多边形。

所谓凸集就是指集合满足如下性质：对任意点，则线段 常见的凸集有三角形、平行四边形、正n边形、圆、凸多面体、球体，欧氏空间（是平面，是空间）等。
关于凸集有一个基本的结论：凸集的交集仍然是凸集。请读者利用上述凸集定义自证。凸集的截面事实上就是凸集与凸集——平面的交集，所以截面必定是平面上的凸集。
由于凸多面体每个面都是平面上的凸多边形区域，于是截面的边界是面与面的交线段段构成的平面闭曲线，这样的凸集只能是凸多边形。
接下来我们对截面进行简单的分类，这有助于我们接下来的讨论。

正四面体截面的分类

以下我们所说的截面，皆指非退化的情况，如果是截线、截点，则不予讨论。我们将截面分成以下两种情况讨论。

过顶点的截面

将正四面体视为三棱锥，则过顶点的截面由两条母线所决定（通过两条相交直线的平面唯一），第三条边则落在底面，于是截面始终是三角形。特别地，若母线是某条棱，则截面是过棱的三角形。

普通截面

于是我们更在意的是不过顶点的截面。这样的截面我们不妨命名为「普通截面」。一个显而易见的事实，我将之命名为——

不相容原理：普通截面的任意两个顶点不会在正四面体同一条棱。

否则，截面就会经过这条棱的全部，这与普通截面的前提矛盾。所以，普通截面的每个顶点占据一条棱，而正四面体至多有6条棱，所以普通截面的边数不会超过6.

推论：设正四面体截面为凸n边形，则 n < 7.

不相容原理虽然很简单，但是将问题大大简化，我们再也不用担心的情况，剩下的四种情况只需逐一排查即可。
如上图是的情况。似乎是不存在的，能否严格证明——

定理：正四面体的截面是多边形只有两种情况：三角形、四边形。

证明： 我们只需要证明普通截面不可能出现五边形、六边形即可。正四面体总共只有6条边，如果截面是五、六边形，我们至少可以找到正四面体两个面——正三角形每边各有一点，这意味着截面同时过平面，矛盾。

特殊的截面

既然我们已经确定正四面体的截面多边形的全部类型，那么接下来可以寻找更特殊的截面，例如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、矩形。

三角形

由前文所述，过顶点的截面一定是三角形。如下图，设正四面体，设从顶点处发射两条母线决定了截面。
分析截面三角形各个角，需要我们回忆中学立体几何两个重要的引理——

三正弦定理 三正弦定理也称为最大角定理，即二面角不小于线面角


三余弦定理 三余弦定理也称为最小角定理，即线面角不大于斜线角

证略。

我们可以把这个定理运用到如下场景。
我们所求截面底角的余弦值等于
于是我们分别去了解 而由三正弦定理可知线面角有最大值为正四面体的二面角，最小值为截面过棱的角：
通过观察，作为三角形的内角的取值范围是
上图的截面的顶角只可能是锐角。事实上由最小角定理
<左右划动可见>
于是可知界面三角形是锐角、直角、钝角三角形，取决于，而取决于 这为我们提供了构造各种类型三角形的方法。

四边形

正四面体最特别的四边形截面是「中位线正方形」，它是四条边恰好是正四面体四个面的中位线。
如上图，平行于中位线正方形的平面与正四面体的截面是矩形，这个矩形的周长始终与中位线正方形的周长相等，请读者自行证明。周长固定，由均值不等式很容易得知，这样的矩形面积不会超过中位线正方形的面积。

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